函数概念、图像绘制与交点问题综合复习
函数是一种特殊的对应关系，使得定义域中的每一个元素都唯一对应值域中的一个元素。记作 \(y = f(x)\)，其中 \(x\) 是自变量，\(y\) 是因变量。
函数的三要素包括：
例题：判断下列对应关系是否为函数：
a) \(y = x^2 + 1\) b) \(x^2 + y^2 = 4\)
解答：
a) 是函数，因为每个 \(x\) 值都唯一对应一个 \(y\) 值
b) 不是函数，因为对于同一个 \(x\) 值（如 \(x = 0\)），可能对应两个 \(y\) 值（\(y = \pm 2\)）
偶函数：满足 \(f(-x) = f(x)\) 的函数，图像关于 \(y\) 轴对称
奇函数：满足 \(f(-x) = -f(x)\) 的函数，图像关于原点对称
偶函数：\(f(-x) = f(x)\) 奇函数：\(f(-x) = -f(x)\)
例题：判断函数 \(f(x) = x^3 - x\) 的奇偶性
解答：
\(f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)\)
因此 \(f(x)\) 是奇函数
判断函数奇偶性时要注意：
斜截式：\(y = mx + c\)，其中 \(m\) 是斜率，\(c\) 是 \(y\) 轴截距
点斜式：\(y - y_1 = m(x - x_1)\)，其中 \((x_1, y_1)\) 是直线上一点
一般式：\(Ax + By + C = 0\)
斜率公式：\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
例题：求过点 \((2, -1)\) 且斜率为3的直线方程
解答：
使用点斜式：\(y - (-1) = 3(x - 2)\)
\(y + 1 = 3x - 6\)
\(y = 3x - 7\)
标准式：\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)，其中 \((a, b)\) 是圆心，\(r\) 是半径
一般式：\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)
圆心到点的距离：\(\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}\)
例题：求圆心在 \((3, -2)\)，半径为4的圆的方程
解答：
标准方程：\((x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 4^2\)
即：\((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\)
处理圆方程时要注意：
直线与直线交点：联立两个直线方程求解
直线与圆交点：将直线方程代入圆方程求解
圆与圆交点：联立两个圆方程求解
直线与圆的位置关系：
例题：求直线 \(y = x + 1\) 与圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 的交点
解答：
将 \(y = x + 1\) 代入 \(x^2 + y^2 = 25\)：
\(x^2 + (x + 1)^2 = 25\)
\(x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25\)
\(2x^2 + 2x - 24 = 0\)
\(x^2 + x - 12 = 0\)
\((x + 4)(x - 3) = 0\)
解得：\(x = -4\) 或 \(x = 3\)
对应的 \(y\) 值：\(y = -3\) 或 \(y = 4\)
交点为 \((-4, -3)\) 和 \((3, 4)\)
如果 \(x = a\) 是函数 \(f(x)\) 的零点，那么 \((x - a)\) 是 \(f(x)\) 的因式
反之，如果 \((x - a)\) 是 \(f(x)\) 的因式，那么 \(x = a\) 是函数 \(f(x)\) 的零点
因式定理：\(f(a) = 0 \Leftrightarrow (x - a)\) 是 \(f(x)\) 的因式
例题：已知 \((x - 2)\) 是函数 \(f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\) 的因式，求所有零点
解答：
用长除法：\(x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x - 2)(x^2 - 2x - 3)\)
继续分解：\(x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)\)
所以 \(f(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 1)\)
零点为：\(x = 2, x = 3, x = -1\)
在函数问题中应用因式定理时要注意：
一般式：\(y = ax^2 + bx + c\)
顶点式：\(y = a(x - h)^2 + k\)，其中 \((h, k)\) 是顶点
交点式：\(y = a(x - x_1)(x - x_2)\)，其中 \(x_1, x_2\) 是零点
顶点坐标：\((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})\)
对称轴：\(x = -\frac{b}{2a}\)
例题：求函数 \(y = x^2 - 6x + 8\) 的顶点、对称轴和零点
解答：
配方：\(y = (x - 3)^2 - 1\)
顶点：\((3, -1)\)
对称轴：\(x = 3\)
零点：解 \(x^2 - 6x + 8 = 0\) 得 \((x - 2)(x - 4) = 0\)
零点为 \(x = 2\) 和 \(x = 4\)
通过本章复习，你应该能够：